La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.
La ley de los cosenos establece:
c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .
Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como
b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B or
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .
LEY DE LOS SENOS:
La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.
En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces .
Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños.
Las identidades fundamentales discutidas en el capítulo 3 comprenden solo una variable. Ahora consideramos una identidad importante llamada, pero antes recordemos el signo de las funciones de ángulos negativos.
Mostraremos como encontrar el seno y coseno de la suma de dos ángulos agudos positivos menores de 90°, Figura 4.2, el caso para ángulos mayores se omitirá.
Mostraremos que sen(a + b) = sena cosb + cosa cosb, y que cos(a + b) = cosa cosb – sena seb.
Para construir la figura de la izquierda coloquemos el ángulo a con lado inicial sobre el eje X, y después, colóquese el ángulo b de tal manera que su vértice caiga en O y que su lado inicial coincida con el lado final del ángulo a. Tomemos un punto P sobre el lado final del ángulo ( a + b) y tracemos los segmentos PA, PB, BC y BD de tal manera que PA sea perpendicular a OX y BD perpendicular a AP.
Entonces el ángulo APB es igual al ángulo a porque sus lados correspondientes (OA y AP, OB y BP) son perpendiculares. de aquí tenemos que,
Las identidades de la trigonometría son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas y que son equivalentes para todos y cada uno de los valores de las variables involucradas. Las identidades trigonométricas son la base de los ejercicios de trigonometria que podemos llevar a cabo.
Las identidades trigonométricas hacen referencia a todas las variables posibles de angulos que pueden aparecer en una figura geométrica. ¿Por qué son fundamentales en matemáticas? Porque sirven de base para la demostración de otras entidades más complejas. Las identidades en la trigonometría se utilizan para simplificar expresiones trigonométricas; es decir, nos sirven para mostrar que cada vez que se cumple la primera expresión, se va a cumplir la segunda.
Podemos dividir las identidades trigonométricas en tres categorías diferentes: pitagóricas, cocientes y recíprocas. Estas son las abreviaturas que utilizaremos:
Las funciones trigonométricas son las funciones derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. En general, el ángulo sobre el cual se calculan las razones trigonométricas se expresa en radianes.
En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades fundamentales trigonométricas.
Los valores de las funciones trigonométricas solamente existen para ángulos comprendidos entre 0 y 90 grados, por eso las tablas trigonométricas solamente traen valores en ese intervalo. No existen tablas para ángulos mayores de 90 grados.
Sin embargo, eso no significa que no se puedan obtener, por ejemplo, el seno de 123 grados, o el coseno de 265, o la tangente de 349. Lo que sucede es que el valor de una función trigonométrica mayor de 90 grados corresponde a un valor de los que están entre 0 y 90, o lo que es lo mismo, los valores comprendidos en las tablas entre 0 y 90 grados se repiten cada vez en cada cuadrante.
Así, el valor del seno de 135 es sen 135=0.707106781 , que es el mismo que el seno de 45, lo que puede comprobar fácilmente el alumno con su calculadora, es decir, el valor del seno de 45 se repitió en el seno de 135. Cuando solamente existían tablas y no calculadoras, para obtener el valor del seno de 135 se buscaba en las tablas el seno de 45 por ser su equivalente. Hay que tomar en cuenta que todos los ángulos se miden a partir del eje
X positivo, avanzando en el sentido de los cuadrantes, es decir, en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Encontrar el valor que le corresponde a cada función trigonométrica mayor de 90 grados res- pecto de un ángulo agudo (entre 0 y 90 grados) que está en tablas, es el tema de estudio de las funciones mayores de 90 grados.
Reducir una función trigonométrica de más de 90 o significa encontrar su función equivalente entre cero y noventa grados, algo así como «reducir la función desde un ángulo obtuso a un ángulo agudo». En el caso anterior del seno de 135, reducirlo significa encontrar, por medio de ciertas reglas, que su valor equivale al seno de 45. La regla de equivalencia para ángulos mayores de 90 grados es muy simple: El ángulo original de más de 90 o (el ángulo obtuso) equivale al ángulo agudo que se forma en el cuadrante
respectivo.
Esto significa que existen siempre dos ángulos equivalentes al ángulo obtuso, como puede verse en la figura 1, correspondientes al 2º, 3º y 4º cuadrantes. Por lo tanto, estas reducciones deben analizarse cuadrante por cuadrante. Además, se pueden hacer siguiendo dos criterios: res- pecto del eje X o respecto del eje Y.
Las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente se definen usualmente sobre un triángulo rectángulo, pero esta definición se queda corta ya que es necesario encontrar dichas razones para ángulos que no pueden representarse en un triángulo rectángulo, tal como sucede con cualquier ángulo igual o mayor a 90 grados. Es por ello que se hace necesario redefinir estas razones haciendo uso del sistema cartesiano que nos ayuda a representar a cualquier ángulo entre 0 y 360 grados.
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de un triangulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto(a) es el lado opuesto al ángulo .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El cateto adyacente es aquel que pasa por el ángulo de noventa grados, mientras que el cateto opuesto es, justamente, el opuesto al ángulo. Ambos, por lo tanto, conforman el ángulo de 90º. La hipotenusa, en cambio, es el lado mayor del triángulo.
El radian es una unidad de ángulo en el plano en el sistema internacional de unidades. El radian mide el ángulo presentado como central a una circunferencia y su medida es igual a la razón entre la longitud del arco que comprende de dicha circunferencia y la longitud del radio, es decir, mide la cantidad de veces que la longitud del radio cabe en dicho arco.
Los ángulos se pueden medir en grados o radianes. Un radian son 180/π grados, aproximadamente 57.296°
Un radian es:
el ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo:
Los ángulos de rotación se forman en el plano cartesiano entre el eje positivo x – (lado inicial) y un rayo (lado termina) . Las medidas de ángulos positivos representan una rotación en contra del sentido del reloj mientras que los ángulos negativos indican una rotación en sentido del reloj.
A los polígonos que tienen sus lados y sus ángulos iguales se les denomina regulares.
Atendiendo al número de lados, los primeros polígonos regulares son: el triángulo
equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el hexágono regular (hexágono).
Todos los polígonos regulares son inscribibles en una
circunferencia (la circunferencia que pasa por todos sus
vértices) como muestra el hexágono de la figura. Un
polígono regular contiene tantos triángulos isósceles iguales
como lados tenga y tienen en el centro de la circunferencia,
O, un vértice común a todos los triángulos.
Al ángulo α se le denomina ángulo central y su valor es 360º/n, siendo n el número de
lados del polígono regular. Esto proporciona un método para construir polígonos
regulares inscritos en una circunferencia; tan solo hay que marcar los vértices
correspondientes después de medir con el transportador los ángulos correspondientes.
CONSTRUCCIONES EXACTAS DE POLÍGONOS REGULARES:
De todos los polígonos regulares, el triángulo equilátero y el cuadrado son muy fáciles
de construir. Pero no todos los polígonos se construyen tan fácilmente, incluso hay
muchos que no se pueden construir con regla y compás de forma exacta, como pone
de manifiesto el teorema de Gauss.
Teorema de Gauss. Los únicos polígonos regulares con un número primo de lados
que se pueden construir inscribiéndoles en una circunferencia dada son aquellos en
que
Observe que los polígonos de 7, 9, 11, 13,… lados no se pueden construir.
En el caso del hexágono regular, el lado del hexágono y el
radio de la circunferencia circunscrita son iguales y, por
tanto, con el compás se obtienen los vértices
inmediatamente como aparece en la figura del margen a
partir de un diámetro de la circunferencia. A partir de este
hexágono se puede construir el triángulo inscrito como se
indica en la misma figura.
El cuadrado también se construye de forma sencilla
considerando dos diámetros perpendiculares. Éstos
determinan los vértices A, B, C y D . A partir del cuadrado
regular es fácil obtener los polígonos regulares de 8, 16, 32,
64,… lados y, para ello, sólo hay que trazar las mediatrices
a sus lados (o bisectrices de sus ángulos centrales).
Análogamente, por el mismo procedimiento, a partir del
hexágono regular se pueden obtener los polígonos regulares de 12, 24, 48,… lados.
La construcción de otros polígonos regulares es un poco más complicada y en cada
caso hay que utilizar un método diferente. En la figura siguiente se muestra la
construcción del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio, r, dado.
CIRCUNFERENCIA:
Área
La curva denominada circunferencia encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia.
Existe una fórmula muy sencilla que nos permite calcular cuál es el área encerrada dentro de la circunferencia sólo sabiendo cuánto mide el radio de la circunferencia.
Llamemos ral radio de la circunferencia, entonces el área de la circunferencia será:
Recordar que es un número irracional, así que si queremos expresar el resultado del área sin la constante de tendremos que hacer el cálculo con la aproximación
Veamos un ejemplo de como podemos calcular el área de una circunferencia
En la circunferencia de la imagen expuesta arriba se ve claramente que el área encerrada por la circunferencia es la que está en color azul. En este caso la variable r , es decir, el radio, toma el valor r=10cm. El área se calcularía de la siguiente forma
Perímetro
Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida.
De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio r.
.
EJEMPLOS: 
EJEMPLO:
EJERCICIO:
polígonos y circunferencia 