LOS POLÍGONOS RECTANGULARES:
A los polígonos que tienen sus lados y sus ángulos iguales se les denomina regulares.
Atendiendo al número de lados, los primeros polígonos regulares son: el triángulo
equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el hexágono regular (hexágono).
Todos los polígonos regulares son inscribibles en una
circunferencia (la circunferencia que pasa por todos sus
vértices) como muestra el hexágono de la figura. Un
polígono regular contiene tantos triángulos isósceles iguales
como lados tenga y tienen en el centro de la circunferencia,
O, un vértice común a todos los triángulos.
Al ángulo α se le denomina ángulo central y su valor es 360º/n, siendo n el número de
lados del polígono regular. Esto proporciona un método para construir polígonos
regulares inscritos en una circunferencia; tan solo hay que marcar los vértices
correspondientes después de medir con el transportador los ángulos correspondientes.
CONSTRUCCIONES EXACTAS DE POLÍGONOS REGULARES:
De todos los polígonos regulares, el triángulo equilátero y el cuadrado son muy fáciles
de construir. Pero no todos los polígonos se construyen tan fácilmente, incluso hay
muchos que no se pueden construir con regla y compás de forma exacta, como pone
de manifiesto el teorema de Gauss.
Teorema de Gauss. Los únicos polígonos regulares con un número primo de lados
que se pueden construir inscribiéndoles en una circunferencia dada son aquellos en
que
Observe que los polígonos de 7, 9, 11, 13,… lados no se pueden construir.
En el caso del hexágono regular, el lado del hexágono y el
radio de la circunferencia circunscrita son iguales y, por
tanto, con el compás se obtienen los vértices
inmediatamente como aparece en la figura del margen a
partir de un diámetro de la circunferencia. A partir de este
hexágono se puede construir el triángulo inscrito como se
indica en la misma figura.
El cuadrado también se construye de forma sencilla
considerando dos diámetros perpendiculares. Éstos
determinan los vértices A, B, C y D . A partir del cuadrado
regular es fácil obtener los polígonos regulares de 8, 16, 32,
64,… lados y, para ello, sólo hay que trazar las mediatrices
a sus lados (o bisectrices de sus ángulos centrales).
Análogamente, por el mismo procedimiento, a partir del
hexágono regular se pueden obtener los polígonos regulares de 12, 24, 48,… lados.
La construcción de otros polígonos regulares es un poco más complicada y en cada
caso hay que utilizar un método diferente. En la figura siguiente se muestra la
construcción del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio, r, dado.
CIRCUNFERENCIA:
Área
La curva denominada circunferencia encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia.
Existe una fórmula muy sencilla que nos permite calcular cuál es el área encerrada dentro de la circunferencia sólo sabiendo cuánto mide el radio de la circunferencia.
Llamemos r al radio de la circunferencia, entonces el área de la circunferencia será:
Recordar que es un número irracional, así que si queremos expresar el resultado del área sin la constante de tendremos que hacer el cálculo con la aproximación
Veamos un ejemplo de como podemos calcular el área de una circunferencia
En la circunferencia de la imagen expuesta arriba se ve claramente que el área encerrada por la circunferencia es la que está en color azul. En este caso la variable r , es decir, el radio, toma el valor r=10 cm. El área se calcularía de la siguiente forma
Perímetro
Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida.
De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio r .
EJEMPLOS:
EJERCICIO:
polígonos y circunferencia 