LA FORMULA DEL ÁREA DEL TRIANGULO

EJEMPLO:

EJERCICIO:

 

   Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

• Radio,el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
• Diámetro,el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y  que necesariamente pasa por el centro.
• Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros).
• Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
• Semicircunferencia,cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

En el plano, una recta puede intersecar a una circunferencia en un punto, intersecarla en dos puntos o no intersecarla.

• Las rectas que intersecan a la circunferencia en un solo punto se llaman rectas tangentes a la circunferencia. Al punto en el que la tangente interseca a la circunferencia se llama punto de tangencia;una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro, por lo cual, la distancia que hay del centro a la recta tangente es igual al radio.

• Las rectas que intersecan en dos puntos a la circunferencia se llaman rectas secantes. La distancia del centro de la circunferencia a la recta secante es menor que el radio.

• Las rectas que no intersecan a la circunferencia se llaman rectas exteriores. La distancia del centro de la circunferencia a la recta exterior es mayor que el radio

 

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA:

• Ángulo central tiene su vértice en el centro por lo que sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

• Ángulo inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.

• Ángulo semi-inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

• Ángulo interior su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

• Ángulo exterior tiene su vértice en el exterior de la circunferencia  y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella. 

TEOREMAS DE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA:

TEOREMA DEL ÁNGULO CENTRAL: La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente o viceversa. 

   AOB = AB

TEOREMA DEL ÁNGULO INSCRITO: Mide la mitad del arco que abarca.

AOB = ½ AB

.

TEOREMA DEL ÁNGULO SEMI-INSCRITO: Mide la mitad del arco que abarca.

AOB = ½ AB

TEOREMA DEL ÁNGULO INTERIOR: Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

AOB = ½ (AB + CD)

 

TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR: Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia

Un ángulo inscrito y uno central cumplen con la siguiente relación: “la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende el mismo arco”.

EJEMPLO:

EJERCICIO:

La circunferencia es una linea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Los ángulos de la circunferencia se clasifican en tres grandes bloques:

• Ángulos interiores, cuyo vértice está dentro de la circunferencia. En ellos podemos cabe destacar el siguiente caso:
• Ángulo central, cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
• Ángulos periféricos, cuyo vértice es un punto de la circunferencia. Entre ellos caben destacar:
• Ángulo inscrito, que es aquel cuyo vértice está en la circunferencia y los lados son cuerdas.
• Ángulo semiinscrito, que es aquel cuyo vértice está en la circunferencia y tiene por lados una cuerda y una recta tangente a la circunferencia.
• Ángulos exteriores, cuyo vértice es un punto que está fuera de la circunferencia.

EJEMPLO:

EJERCICIOS:

ANGULO CENTRAL:

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. 
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

ANGULO INSCRITO:

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. 
Mide la mitad del arco que abarca.

ANGULO SEMI – INSCRITO:

El vértice de ángulo semi-inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella. 
Mide la mitad del arco que abarca.

 

ANGULO INTERIOR:

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. 
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados. 

ANGULO EXTERIOR:

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

 EJEMPLOS:

EJERCICIOS:

 

Trapecio es un cuadrilátero cuyos dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos.

Se llaman a los lados paralelos las bases del trapecio y a otros dos  los lados laterales.

También se llama el trapecio a un cuadrilátero cuyo un par de los lado opuestos es paralelo y los lados no son iguales entre si.

ELEMENTOS DEL TRAPECIO:

• Bases de trapecio son los lados paralelos
• Lados laterales son otros dos lados
• Mediana es el segmento que une las mitades de los lados laterales.

TIPOS DE TRAPECIOS:

• Trapecio isósceles es un trapecio cuyos lados laterales son iguales
• Trapecio rectángulo es un trapecio uno de los lados laterales del cual es perpendicular a las bases

PROPIEDADES DEL TRAPECIO:

Un paralelogramo es un cuadriláteros cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos.

CLASE DE PARALELOGRAMOS:

• El cuadrado,que tiene todos sus lados de igual longitud, y todos sus ángulos son recto.
• El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y solo dos pares de ángulos iguales.
• El rectángulos, que tiene solo sus lados opuestos de igual longitud, y todos sus ángulos son rectos.
• El romboide, que tiene solo los lados opuestos de igual longitud y solo dos pares de ángulos iguales.

EJEMPLOS:

 

EJERCICIOS:

 

Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos.

No tiene ángulos rectos, sus diagonales son desiguales y oblicuas.

Dos de sus ángulos son agudos y los otros dos obtusos

La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360°.

Propiedades de los paralelogramos

1) Dos pares de lados opuestos son paralelos.

2) Dos pares de lados opuestos son congruentes.

3) Dos pares de ángulos opuestos son congruentes.

4) Las diagonales se cortan en el punto medio.

5) Dos lados opuestos son paralelos y congruentes.

6) Los ángulos consecutivos son suplementarios (suman 180°).

El cuadrado, tiene todos sus lados de igual longitud y sus ángulos internos son todos ángulos rectos. Sin embargo, un cuadrado es un tipo especial de rombo y un tipo especial de rectángulo, así que el cuadrado admite otras definiciones.

El rectángulo, tiene sus lados opuestos de igual longitud y sus ángulos internos son todos ángulos rectos.

El rombo, no tiene ángulos rectos y sus lados son iguales.

El romboide, en el que solo los lados opuestos son iguales (y sus ángulos no son rectos).

Diagonales de los paralelogramos

Cuadrado: Son iguales y perpendiculares. El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, que son las paralelas medias y las diagonales.

Rectángulo: Son iguales. El rectángulo tiene dos ejes de simetría, que son las paralelas medias.

Rombo: Son perpendiculares. El rombo tiene dos ejes de simetría, que son las diagonales.

Romboide: Son desiguales y no perpendiculares. El romboide no tiene ejes de simetría.

EJERCICIO:

EXPLICACIÓN:

En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los
exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios. 

Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso. 

Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es:

 

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los exteriores suman 360º

ÁNGULOS EXTERIORES:

ÁNGULOS INTERIORES:

a) El polígono tiene siete lados, por lo tanto la suma de sus ángulos interiores es:                     180° x (7-2) = 180° x 5 = 900°, como todos los ángulos tienen la misma medida.

b) Primeramente, puede observarse que el suplemento del angulo de 60° es un angulo interior del polígono. El polígono tiene cinco lados.  Por lo tanto la suma de sus ángulos interiores es:               180° x (5 – 2) = 180° x 3 = 540°

 

EJEMPLO:

EJERCICIO:

EXPLICACIÓN ÁNGULOS EXTERIORES:

 

EXPLICACIÓN DE LOS ÁNGULOS INTERIORES:

Un cuadrilátero , en este sentido, es un polígono cuyos lados son cuatro. Esto quiere decir que el cuadrilátero queda determinado por cuatro segmentos que lo conforman. Al tener cuatro lados, todos los cuadriláteros cuentan también con dos diagonales, cuatro vértices y cuatro ángulos interiores.

TIPOS DE CUADRILÁTEROS

Paralelogramo: 

Son aquellos cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos, o como se definen usualmente- los lados paralelos “dos a dos” 

Rectángulos:

Cumplen todo lo dicho para los paralelogramos genéricos, pero tienen la particularidad de que todos sus ángulos miden 90º, es decir son rectos.

Rombos:

Cumplen todo lo dicho para los paralelogramos genéricos, pero tienen la particularidad de tener todos sus lados de igual longitud.

Cuadrados:

Son paralelogramos que además de las condiciones anteriores, cumplen la propiedad de tener sus cuatro ángulos y sus cuatro lados iguales. Observa que realmente cumplen todo lo anterior
* Sus lados son paralelos dos a dos (y por eso es un tipo de paralelogramo)
* Sus cuatro lados son iguales (y por eso es un tipo de rombo)
* Sus cuatro ángulos miden 90º (y por eso es un tipo de rectángulo)

Trapecios y Trapezoides:

Los trapecios son cuadriláteros que tienen solamente dos lados opuestos paralelos, de diferente longitud. Los restantes otros dos lados no son paralelos. Los trapecios a su vez se dividen en: trapecio rectángulo (posee dos ángulos rectos), trapecio isósceles (sus lados no paralelos tienen igual longitud), y trapecio escaleno (no es trapecio rectángulo ni isósceles).

 

Romboide:

Romboide es un concepto que se utiliza en la geometría, para nombrar al paralelogramo que dispone de dos ángulos mayores que el otro par y de lados contiguos que resultan desiguales.

EJEMPLO:

 EJERCICIO:

EXPLICACIÓN: